수서동중3수학과외, 제곱근의 대소관계를 변형 문제에서도 판단하는 법
√ 안의 수만 비교하면 되는 문제에서 멈춘 이유
학생은 다음 문제에서 답을 맞혔다.
√7과 √11 중 더 큰 수를 고르시오.
답안에는 “11이 더 크므로 √11이 더 크다”라고 적혀 있었다. 결론은 맞지만, 이 풀이를 그대로 새로운 문제에 적용하기에는 설명이 부족했다. 실제로 3과 √11을 비교하는 문제를 제시하자 학생은 √11의 근삿값을 계산하려고 했고, -√7과 -√11에서는 앞서 사용한 “근호 안의 수가 큰 쪽이 더 크다”는 말을 그대로 적용해 -√11을 골랐다.
수서동중3수학과외에서는 정답 자체보다 비교할 대상의 형태와 부호를 먼저 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다. 대왕중학교와 수서중학교 학습 자료를 확인할 때도 제곱근의 기본 비교 문제와 변형 문제를 분리해 보지 않고, 어떤 조건에서 같은 판단이 유지되고 어떤 조건에서 순서가 뒤집히는지를 한 흐름으로 점검하는 방식이다.
양수인 제곱근은 제곱해서 비교한다
√7과 √11은 모두 0 이상인 수다. 양수 또는 0인 두 수는 제곱했을 때 대소관계가 바뀌지 않는다. 따라서
7<11 이므로 √7<√11
이라고 판단할 수 있다. 여기서 학생이 실제로 해야 할 첫 행동은 근삿값을 구하는 것이 아니라 두 수가 모두 제곱근의 양의 값인지 확인하는 일이다. √7은 “7의 제곱근 중 양의 값”을 뜻하므로, -√7과 구별해야 한다.
반면 √36과 6을 비교할 때는 √36=6으로 바꾼 뒤 같은 수임을 확인한다. √50과 7은 제곱을 이용하면 50과 49를 비교할 수 있으므로 √50>7이다. 이때도 “근호 안의 수와 바깥 수를 바로 비교”하는 것이 아니라, 7을 7²과 연결해야 한다.
바깥에 있는 수와 비교할 때 학생이 적어야 하는 한 줄
학생이 자주 쓰는 오답은 다음과 같다.
√18과 4 비교 → 18>4이므로 √18>4
결과는 우연히 맞지만 근거가 잘못되었다. √18과 4를 비교하려면 4를 제곱해 16과 대응시켜야 한다. 두 수가 모두 음이 아닌 수이므로
18>4²=16, 따라서 √18>4
라고 적어야 한다. 이 한 줄이 있어야 숫자가 바뀐 문제에서도 판단을 이어 갈 수 있다. 예를 들어 √24와 5를 비교할 때는 24와 25를 비교하여 √24<5라고 결정한다. √15와 4라면 15와 16을 비교하므로 √15<4이다.
수서동의 수서주공아파트와 LH수서아파트 주변에서 학교 수업 뒤 이동하고 자습 시간을 확보하는 학생이라면, 짧은 학습 시간에 근삿값을 계속 계산하기보다 ‘비교 대상이 음이 아닌가 확인 → 바깥 수를 제곱 → 제곱한 수와 근호 안의 수 비교’라는 세 단계만 답안 여백에 남기는 연습이 효율적이다.
마이너스가 붙는 순간 비교 방향을 다시 확인하기
학생이 가장 오래 멈춘 장면은 -√7과 -√11의 비교였다. √7<√11이라는 사실을 알고 있었지만, 양변에 -를 붙이면 부등호 방향이 바뀐다는 점을 놓쳤다.
√7<√11
양변에 -1을 곱하면
-√7>-√11
이다. 수직선에서 생각하면 -√7은 0에 더 가깝고, -√11은 더 왼쪽에 있다. 따라서 -√7이 더 크다. 학생에게는 “근호 안의 수가 큰 쪽이 항상 더 크다”가 아니라 “양수인 제곱근끼리 비교할 때만 그 규칙을 사용할 수 있다”고 설명하게 했다.
이후 -√18과 -4를 비교할 때는 먼저 √18과 4의 관계를 확인한다. 앞에서 √18>4였으므로 부호를 바꾼 -√18<-4가 된다. 음수인 상태에서 무리하게 제곱하면 부호 정보를 놓칠 수 있으므로, 양수 부분을 먼저 비교한 뒤 전체 부호를 반영하는 절차를 고정했다.
식의 모양이 달라져도 같은 비교 기준 찾기
다음에는 단순한 두 수가 아니라 식으로 바꾸었다.
2√5와 √20 중 어느 것이 큰가?
학생은 근호 안의 5와 20만 비교해 √20이 더 크다고 답했다. 그러나 2√5=√4×√5=√20이므로 두 식은 같다. 이 문제에서는 계수를 무시하면 안 된다. 계수를 근호 안으로 옮겨 같은 형태로 바꾸거나, 양변이 음이 아닌 수임을 확인한 뒤 제곱할 수 있다.
(2√5)²=20, (√20)²=20
따라서 2√5=√20이다. 같은 방식으로 3√2와 √19를 비교하면 (3√2)²=18, (√19)²=19이므로 3√2<√19이다. 학생이 해야 할 수정 행동은 ‘근호 안의 숫자만 보기’가 아니라 계수까지 포함한 전체 식을 비교 가능한 형태로 바꾸는 것이다.
답을 고른 뒤 역검산하는 독립 문제
마지막에는 이전 문제와 숫자와 부호를 모두 바꾼 문제를 도움 없이 제시했다.
√45, 6, -√38 중 가장 큰 수와 가장 작은 수를 각각 구하시오.
학생은 먼저 √45와 6을 비교하기 위해 45와 36을 비교하여 √45>6이라고 적었다. -√38은 음수이므로 양수인 두 수보다 작다고 판단했다. 따라서 가장 큰 수는 √45, 가장 작은 수는 -√38이다.
이어 √63과 -8, 4√3 중 가장 큰 수를 묻자 학생은 4√3을 제곱해 48, √63을 제곱해 63을 얻고 √63이 더 크다고 설명했다. 음수인 -8은 비교 대상 중 가장 작다는 근거도 덧붙였다. 같은 답을 기억해 적은 것이 아니라, 새로운 식에서 계수와 부호를 확인하고 제곱 비교를 다시 꺼내 쓴 것이다.
제곱근의 대소관계 학습은 근삿값을 빨리 구하는 데서 끝나지 않는다. 양의 제곱근인지, 바깥 수를 어떻게 대응시킬지, 음의 부호가 있는지, 계수까지 포함해 비교해야 하는지를 문제마다 먼저 판별하는 것이 중3 변형 문제에서 필요한 풀이 기준이다.