세곡동중3수학과외, 제곱근의 대소관계를 식과 조건으로 확인하기
학생이 다음 두 수를 비교하는 문제에서 멈췄다.
√7과 2√2 중 더 큰 수를 구하시오.
처음 쓴 답은 “√7이 더 크다. 7이 4보다 크기 때문이다”였다. √7과 2√2를 단순히 근호 안의 수와 계수만 보고 비교한 것이다. 이 답은 우연히 정답과 같을 수 있지만, 비교 근거가 타당하지 않다. √7은 약 2.64이고 2√2는 약 2.82이므로 실제로는 2√2가 더 크다.
근호 안의 수만 비교하면 안 되는 이유
제곱근의 대소관계는 먼저 두 수가 어떤 형태인지 살펴야 한다. √7과 √8처럼 계수가 같은 두 수라면 7과 8을 비교해 √7<√8이라고 판단할 수 있다. 그러나 2√2는 √8과 같으므로 문제의 식을 같은 근호 형태로 바꾸는 과정이 필요하다.
학생에게는 2√2를 바로 소수로 바꾸게 하지 않고, 먼저 계수를 근호 안으로 넣도록 했다.
2√2=√(2²×2)=√8
따라서 √7과 2√2는 √7과 √8의 비교가 된다. 양수의 제곱근에서는 근호 안의 수가 클수록 제곱근도 크므로 7<8에서 √7<√8을 얻는다. 처음의 판단처럼 7과 2를 비교하거나, 계수 2를 무시해서는 안 된다.
학생이 맞힌 답에도 확인할 줄이 남아 있다
다음 문제에서는 학생이 정답을 맞혔다.
3√5와 √46의 대소관계를 비교하시오.
학생은 3√5를 √45로 바꾸고 √45<√46이라고 적었다. 결론은 맞지만, 풀이에는 3√5=√45라는 근거가 빠져 있었다. 식을 변형한 뒤 결과만 적으면 숫자가 바뀐 문제에서 같은 방법을 재현하기 어렵다. 학생이 반드시 남겨야 할 줄은 다음과 같다.
3√5=√(3²×5)=√45
45<46이므로 √45<√46
따라서 3√5<√46
이 과정은 계산을 길게 만들기 위한 것이 아니다. 계수를 제곱하여 근호 안에 넣었다는 성질을 확인하는 장치다. 반대로 √45를 3√5로 바꿀 때도 45=9×5라는 분해가 근거가 된다.
제곱해서 비교할 때 놓치기 쉬운 조건
모든 식을 무조건 제곱해도 된다고 설명하면 또 다른 오류가 생긴다. 예를 들어 √11과 3을 비교할 때는 두 수가 모두 양수이므로 제곱하여 11과 9를 비교할 수 있다.
(√11)²=11, 3²=9
따라서 √11>3이다. 하지만 음수가 포함된 식에서는 제곱한 결과만으로 원래 대소관계를 판단할 수 없다. 중3 제곱근 비교에서 자주 사용하는 제곱 비교는 비교하는 두 수가 모두 0 이상이라는 조건을 확인한 뒤 적용해야 한다. 학생이 문제 옆에 ‘두 수 모두 양수’라고 짧게 적게 한 이유도 여기에 있다.
또 √a와 a의 제곱근을 구분해야 한다. √9는 3이라는 하나의 값이지만, “9의 제곱근”은 3과 -3을 모두 뜻한다. 대소관계 문제에서 √9가 나오면 √9=3으로 읽고, x²=9의 해를 묻는 문제라면 x=±3으로 써야 한다. 서로 다른 질문에 같은 기호를 기계적으로 적용하지 않도록 문장을 먼저 표시했다.
세곡동의 통학 일정 속에서 풀이를 짧게 검증하는 방법
세곡동 주소의 중학교가 확인된 자료는 없으며, 개원중학교·개포중학교·구룡중학교·단국대학교사범대학부속중학교·대명중학교는 같은 강남구의 통학권 참고 학교다. 세곡푸르지오, 리엔파크3단지, 한신휴플러스6단지 등 생활권에서 학교와 학원으로 이동하는 일정이 길어지거나, 중학교에서 고등학교로 넘어가며 과제와 시험 준비 시간이 늘어날 때는 한 문제를 오래 붙잡기보다 풀이의 핵심 근거를 빠르게 확인하는 습관이 필요하다.
학생은 제곱근 비교 문제마다 다음 세 줄을 확인표처럼 사용했다.
- 두 식을 같은 근호 형태로 바꿀 수 있는가?
- 계수를 근호 안에 넣을 때 제곱을 했는가?
- 제곱해서 비교한다면 두 수가 모두 음이 아닌가?
이 확인표는 정답을 외우는 목록이 아니라, 실제 오답이 발생한 지점을 다시 찾는 도구다. √12와 2√3을 비교할 때 학생은 처음에 12와 3을 보고 √12가 크다고 했다. 이후 2√3=√12를 직접 전개해 두 수가 같다는 것을 확인했다. 같은 문제를 다시 푼 것이 아니라, 계수가 있는 근호를 만났을 때 먼저 형태를 통일하는 행동으로 바꾼 것이다.
숫자가 바뀐 문제에서 혼자 판단하는지 확인하기
며칠 뒤에는 다음처럼 표현을 바꾼 문제를 제시했다.
√19, 2√5, √21 중 가장 작은 수를 고르시오.
학생은 2√5를 √20으로 바꾼 뒤 √19<√20<√21이라고 정리했다. 이전에는 보기 중 두 수만 비교했지만, 이번에는 세 수를 같은 형태로 바꾸어 순서를 정했다. 이어 √19와 2√5를 제곱해 비교하는 방법도 선택할 수 있으나, √19와 √21 사이에 √20이 놓인다는 점을 이용하는 편이 더 간단하다고 설명했다.
마지막으로 2√5와 √19의 위치를 바꿔 제시했을 때도 학생은 보기 순서에 끌리지 않고 2√5=√20을 먼저 적었다. 정답을 기억한 것이 아니라, 숫자와 문제 배열이 달라져도 ‘형태 통일 후 근호 안 비교’라는 첫 행동을 독립적으로 꺼낸 것이다. 세곡동중3수학과외에서는 이처럼 맞힌 개수보다 식의 변형 근거와 조건 확인이 남아 있는지를 기준으로 제곱근 대소관계를 점검한다.