삼성동중3수학과외, 제곱근의 대소관계를 조건으로 판단하는 연습
학생이 다음 두 수를 비교하는 문제에서 바로 “3이 더 크니까 √3이 더 크다”고 적었다.
√12와 3√2의 대소를 묻는 문항이었다. 처음 답은 √12 < 3√2였지만, 실제로는 √12=2√3이고 3√2는 약 4.24이므로 √12가 더 작다는 결론 자체는 맞았다. 문제는 답을 얻은 과정에 비교 기준이 없었다는 점이다. 숫자의 겉모양만 보고 판단했기 때문에 계수와 근호가 함께 바뀌면 다시 멈출 가능성이 컸다.
근호 안의 수만 보고 판단하면 생기는 오류
제곱근의 대소관계에서는 먼저 두 수를 같은 형태로 바꿀 수 있는지 확인해야 한다. √12와 3√2를 비교할 때 3√2를 근호 하나로 바꾸면 다음과 같다.
3√2=√18
따라서 양수가 제곱근 안에 있는 형태로 통일하면 √12와 √18의 비교가 된다. 제곱근 함수는 양수 범위에서 근호 안의 수가 클수록 값도 크므로 12<18에 따라 √12<√18, 즉 √12<3√2이다.
학생은 이 풀이를 적으면서도 3√2를 √6으로 바꾸는 실수를 했다. 계수 3을 근호 안에 넣을 때는 3²을 곱해야 하므로 3√2=√(3²×2)=√18이다. 이 장면에서는 제곱근의 성질을 길게 외우게 하기보다, 계수를 근호 안으로 옮길 때 계수의 제곱을 곱하는 한 줄을 직접 쓰게 했다.
비교 전에 같은 형태인지 표시하기
다음 문제에서는 학생에게 계산부터 시작하지 않고 두 수의 형태에 표시하도록 했다.
2√5와 √19를 비교할 때 2√5=√(2²×5)=√20이므로 √20>√19이다. 따라서 2√5>√19이다. 반대로 √45와 3√5는 √45=3√5이므로 대소가 아니라 같다고 판단해야 한다.
학생이 두 번째 문제에서 “45가 더 크므로 √45가 더 크다”고 말했지만, 3√5를 먼저 √45로 바꾸면 두 표현이 같은 수라는 사실을 확인할 수 있다. 제곱근 비교에서는 근호 안의 숫자를 단순히 비교하는 것이 아니라, 계수까지 포함해 동일한 형태로 바꾸는 과정이 필요하다.
제곱과 부호를 이용할 때의 조건
모든 문제를 근호 안으로 바꿀 필요는 없다. 양수인 두 수를 비교할 때는 양변을 제곱해도 대소관계가 유지된다. 예를 들어 √7과 2를 비교하면 두 수가 모두 양수이므로 7과 4를 비교하여 √7>2라고 할 수 있다.
하지만 -√7과 -2를 비교할 때는 같은 방식으로 처리하면 안 된다. 양변을 제곱하면 7과 4의 대소만 남아 부호에 따른 방향을 잃는다. 실제로 √7>2이지만 양변에 음수를 붙이면 -√7<-2이다. 학생이 제곱하기 전에 “두 수가 양수인가?”를 먼저 묻도록 한 이유다.
제곱하기 전에는 양변의 부호를 확인하고, 근호를 합치기 전에는 계수의 제곱을 확인한다.
삼성동 통학 뒤 자습시간에 적용한 짧은 점검
삼성중앙역과 삼성사원아파트가 확인되는 삼성동 생활권에서 학생은 학교와 학원 사이 이동시간이 일정하지 않아, 방과 후 긴 풀이보다 이동 뒤 15분 동안 비교 문제의 첫 행동을 점검하는 방식으로 학습했다. 삼성동 내 중학교로 확인되는 봉은중학교와 강남구 내 참고 학교인 개원중학교·개포중학교·구룡중학교·단국대학교사범대학부속중학교는 구분하여 보았으며, 참고 학교를 삼성동 소재 학교로 보지는 않았다. 지역 내 고등학교 1개와 같은 강남구 내 고등학교 22개라는 학교 분포도 현재 중3 학습 판단의 배경 자료일 뿐, 학교별 시험 경향으로 확대하지 않았다.
학생은 이동 후 첫 문제에서 √28과 2√7을 비교했다. 예전처럼 28과 7만 비교하지 않고 2√7=√28을 먼저 적어 두 수가 같다고 답했다. 이어 √11과 3을 비교할 때는 양수가 맞는지 확인한 뒤 11과 9를 비교하여 √11>3이라고 설명했다.
숫자와 구하는 대상을 바꾼 독립 확인
다음 문제에서는 정답을 직접 묻지 않고 조건에 맞는 정수를 찾게 했다.
“√30보다 크고 √50보다 작은 정수”를 찾는 문제에서 학생은 먼저 √30과 √50 사이의 제곱수를 확인했다. 5²=25, 6²=36, 7²=49, 8²=64이므로 √30<6<7<√50이다. 따라서 조건을 만족하는 정수는 6과 7이다.
이번에는 근호가 포함된 두 수를 비교하는 대신 정수를 사이에 배치해야 했지만, 학생은 제곱근의 대소관계를 제곱수 기준으로 바꾸어 해결했다. 답을 외운 것이 아니라 “어떤 수의 제곱이 근호 안의 수보다 큰가 또는 작은가”를 먼저 판단한 것이다.
마지막으로 √80과 4√5를 비교하게 하자 4√5=√80으로 바꾼 뒤 같다고 답했다. 풀이 끝에는 양변을 제곱하여 80=80인지 확인했다. 제곱근 문제에서 필요한 변화는 문제 수를 많이 늘리는 것이 아니라, 계수·부호·구하는 대상이 달라져도 형태와 조건을 먼저 판별하는 행동을 유지하는 데 있다.