도곡동중3수학과외, 제곱근에서 부호와 표현이 바뀌어도 원리 지키기
x²=25에서 5만 적은 답, 어디까지 맞았을까
도곡동의 한 중3 학생이 학교 프린트의 x²=25를 보고 곧바로 x=5라고 적었다. 계산 결과 하나는 맞지만, 방정식의 해를 모두 구하라는 문제라면 답이 완전하지 않다. x=5뿐 아니라 x=-5도 제곱하면 25가 되기 때문이다. 반대로 √25의 값을 묻는 문제라면 답은 5 하나다. 같은 숫자 25가 등장해도 식의 표현과 질문이 달라지면 부호를 처리하는 방식이 달라진다.
수업에서는 이 차이를 단순히 ‘플러스마이너스를 붙이기’로 외우지 않는다. 학생이 문제의 모양을 먼저 읽고, 제곱근 기호인지 방정식인지 구분하는 행동을 만들도록 한다. 도곡중학교, 대치중학교, 숙명여자중학교, 은성중학교의 시험 범위와 수행평가 일정은 학교별로 확인해야 하며, 일정이 겹치는 주에는 평일 귀가 시간까지 함께 살펴 제곱근의 부호 문제를 짧게 나누어 연습하는 계획이 현실적이다.
√36과 x²=36을 같은 질문으로 읽지 않기
학생이 처음에는 다음 두 문제를 나란히 두고도 같은 답을 썼다.
√36의 값을 구하시오. → ±6
x²=36을 풀어라. → x=6
첫 번째 답은 틀렸다. √36은 ‘36의 음이 아닌 제곱근’을 뜻하므로 √36=6이다. 두 번째 답은 해를 하나 빠뜨렸다. x²=36에서는 x=6 또는 x=-6이다. 여기서 필요한 수정 행동은 계산을 더 많이 하는 것이 아니다. 학생은 문제를 보자마자 식 전체에 동그라미를 치고, ‘근호값’인지 ‘방정식의 해’인지 옆에 짧게 적는다. 이어 x²=a 형태이면 두 부호를 대입하고, √a 형태이면 음이 아닌 값을 선택한다.
이 과정을 확인할 때는 학생에게 답만 말하게 하지 않고 근거를 붙이게 한다. “√36은 6²=36이고 근호의 값은 음이 아니므로 6이다.” “x²=36은 6²과 (-6)²가 모두 36이므로 x=±6이다.” 같은 문장을 직접 말하게 하면 기호를 기계적으로 붙이던 습관이 드러난다.
제곱근이라는 말과 제곱근 기호를 분리해서 읽는 연습
“49의 제곱근을 구하시오”라는 문항에서 학생이 7만 적는 경우도 있다. 이때는 7과 -7이 모두 49의 제곱근이다. 그러나 “√49를 구하시오”라면 7만 적어야 한다. 특히 ‘a의 제곱근’과 ‘√a’를 같은 표현으로 처리하면 서술형에서 감점될 수 있다.
풀이 종이에는 다음과 같은 작은 판단표를 쓰게 한다.
- ‘√a의 값’ 또는 ‘√a’가 보이면 음이 아닌 제곱근을 찾는다.
- ‘a의 제곱근’을 묻는다면 양의 값과 음의 값을 모두 확인한다.
- x²=a를 풀 때는 두 수를 제곱하여 a가 되는지 대입한다.
- a가 음수이면 실수 범위에서 제곱근과 방정식의 가능 여부를 먼저 판단한다.
예를 들어 x²=-9는 실수 범위에서 해가 없다. 학생이 여기에 x=±3i처럼 중학교 범위를 넘어선 표현을 쓰지 않도록, 현재 문제에서 요구하는 수의 범위를 확인하게 한다. 중1·중2에서 배운 음수의 곱셈 부호가 이 장면을 막는다면 (-3)²=9라는 한 줄만 다시 확인한 뒤 제곱근 문제로 돌아온다.
부호만 바꾸지 말고 식의 형태까지 바꿔 보기
원리를 기억했는지 확인하기 위해 같은 숫자의 문제를 곧바로 반복하지 않는다. 다음에는 계수와 식의 위치를 바꾼다.
예를 들어 4x²=100에서 학생은 먼저 양변을 4로 나누어 x²=25를 만든다. 그 뒤 x=5 또는 x=-5라고 쓴다. 단순히 √100=10에 ±를 붙여 x=±10이라고 하면 계수를 처리하지 않은 오답이다. 수정할 때는 ‘제곱된 x만 남긴다’는 첫 행동을 고정하고, 마지막에 두 근을 원래 식에 각각 대입한다.
x=5를 대입하면 4×25=100이고, x=-5를 대입해도 4×25=100이다. 부호가 제곱 과정에서 사라지는 이유를 직접 확인했기 때문에 숫자만 외운 답보다 오래 유지된다. 이번에는 9x²=144처럼 바꾸어 x²=16, 따라서 x=4 또는 -4로 이어지는지 도움 없이 살핀다.
그림과 문장으로 바뀐 제곱근에서도 같은 판단하기
제곱근이 넓이 문제에 들어가면 학생은 도형 그림만 보고 양의 값 하나를 선택한다. 정사각형의 넓이가 64㎠일 때 한 변의 길이는 √64=8㎝이다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 8만 가능하다. 그러나 어떤 수의 제곱이 64인지 묻는 문장이라면 8과 -8을 모두 고려할 수 있다. 그림에서 길이를 구하는 문제와 방정식의 해를 구하는 문제를 구별해야 하는 이유다.
학생에게 도형의 변 옆에는 ‘길이’라고, 문자 방정식 옆에는 ‘해’라고 표시하게 한다. 그림의 단위를 확인하고, 구한 값이 실제 대상의 조건에 맞는지도 말하게 한다. 이 행동은 ±를 무조건 붙이는 실수를 줄여 준다.
학교 일정 속에서 독립적으로 확인하는 방법
도곡동 생활권의 도곡한신아파트와 도곡개포한신아파트 주변에서 통학하는 학생이라도 귀가 시각과 학교별 시험·수행평가 일정은 서로 다를 수 있다. 따라서 특정 학교의 출제 경향을 단정하기보다, 실제 공지된 범위를 기준으로 하루 20분 정도를 정해 문제의 표현을 바꾸어 확인하는 편이 안전하다. 같은 강남구의 개원중학교는 참고 학교로 볼 수 있지만 도곡동 소재 학교와 동일하게 설명해서는 안 된다. 또한 제공된 자료에서 확인된 지역 내 고등학교 3개와 강남구 전체 고등학교 22개는 중학교 학습 장면과 직접 혼동하지 않는다.
마지막 검사는 새 문제로 진행한다. “어떤 수의 제곱이 81이다”, “√81의 값을 구하라”, “정사각형 넓이가 81㎠일 때 변의 길이를 구하라”를 섞어 제시하고, 학생이 먼저 질문의 대상을 구분하는지 본다. 숫자를 81에서 0.25로 바꾸면 x²=0.25의 해는 x=0.5 또는 -0.5이고, √0.25=0.5이다. 이때도 학생이 ±를 기억해서 붙이는 대신 식과 의미를 읽고 근거를 말한다면 제곱근의 부호 원리를 새 조건에서 독립적으로 적용한 것이다.